位相雑音——発振器が「完全な音」を出せない理由

理想的な発振器があるとする。出力は完全な正弦波——

$v(t) = A \cos(2\pi f_0 t)$

スペクトルを見れば $f_0$ に鋭い縦線が一本立つだけだ。でも実際のオシレーターはそうじゃない。その縦線の周りに、裾野が広がっている。これが 位相雑音 だ。

何が揺れているのか

実際の発振器の出力は、こう書いた方が正直だと思う:

$v(t) = A(t) \cos\bigl(2\pi f_0 t + \varphi(t)\bigr)$

$A(t)$ は振幅のゆらぎ、 $\varphi(t)$ は位相のゆらぎ。このふたつが「不純物」だ。振幅雑音は AGC などで抑えられることが多いけれど、位相のゆらぎ $\varphi(t)$ はなかなか消せない。

$\varphi(t)$ がランダムに変動するということは、瞬時周波数もランダムに揺れている、ということ:

$f(t) = f_0 + \frac{1}{2\pi}\frac{d\varphi}{dt}$

音で言えば、ピアノの A4 (440 Hz) を弾いているつもりなのに、440.00001 Hz や 439.99999 Hz の間を微妙にうろついている感じ。人間には聞こえないレベルだが、RFシステムにはかなり響く。

L(f) という指標

位相雑音の大きさを表す指標が $\mathcal{L}(f)$ （スクリプト L）だ。言葉にすると ──「キャリアから周波数 $f$ だけ離れた所で、1 Hz 幅ぶんの雑音電力を取り出し、それがキャリアの電力より何 dB 下にあるか」。式で書けばこう:

$\mathcal{L}(f) = \frac{(\text{キャリアから } f \text{ 離れた 1 Hz 帯域の雑音電力})}{(\text{キャリアの電力})}$

図にすると掴みやすい。中央にキャリアの鋭いスパイクが立ち、その両裾に雑音の「スカート」が広がっている。ある offset $f$ で 1 Hz 幅を切り取って、それがスパイクの天辺から何 dB 下にあるか ── それが $\mathcal{L}(f)$ だ。

位相雑音スペクトルと ℒ(f) の読み方

単位は dBc/Hz（キャリアに対して何 dB 下か、を 1 Hz あたりで測る）。たとえば $\mathcal{L}(1\,\text{kHz}) = -120\,\text{dBc/Hz}$ なら、「キャリアから 1 kHz 離れた所では、1 Hz 幅で見るとキャリアより 120 dB も弱い雑音しかない」── つまりかなりクリーンな発振器だ、という意味になる。

実際のスペクトルを見ると、キャリアに近い領域ほど $\mathcal{L}(f)$ が大きい（雑音が多い）。遠ざかるほど下がっていく。その傾きは発振器の種類によって違う—— $1/f^3$ の領域があったり、 $1/f^2$ の領域があったり。

Leeson 方程式

Leeson が 1966 年に提示したモデルがある:

$\mathcal{L}(f_m) \approx 10 \log\!\left[\frac{2FkT}{P_s}\left(1 + \frac{f_0^2}{4Q^2 f_m^2}\right)\!\left(1 + \frac{f_{1/f}}{f_m}\right)\right]$

変数をざっくり説明すると:

$F$ : 雑音指数（回路が熱雑音をどれだけ増幅するか）
$P_s$ : 発振器の信号電力
$Q$ : 共振器の Q 値
$f_m$ : キャリアからのオフセット周波数
$f_{1/f}$ : $1/f$ コーナー周波数（フリッカー雑音が支配し始める境目）

見て取れることがいくつかある。Q が高いほど位相雑音は下がる——これが水晶発振器が強い理由だ。水晶は Q が $10^4$ から $10^6$ にもなるから、LC 発振器（Q が数十〜数百）よりずっとクリーンだ。また 信号電力が大きいほど雑音比が改善する、という感覚も合っている。

なぜ問題になるのか

直感的にいちばんわかりやすいのは、受信機のミキサーでの話だと思う。

ミキサーは「信号の周波数を別の周波数にずらす」部品で、ローカル発振器 (LO) の出力と受信信号を掛け合わせる。理想的な LO なら受信信号のスペクトルがきれいに平行移動するだけだ。でも LO に位相雑音があると、LO のスペクトルの裾野も一緒に受信信号と畳み込まれる。

結果として、隣の強い信号の裾野が自分の受信したいチャンネルに「漏れ込む」——これを reciprocal mixing と呼ぶ。強い妨害波が隣にいると、LO の位相雑音のせいでノイズフロアが上がってしまう。どれだけ受信機のアンプを低雑音にしても、LO が汚ければ台無しになる。

結局、何と戦っているのか

熱力学だと思う。絶対零度でない限り、抵抗や半導体接合に熱雑音がある。その揺らぎが回路の中で位相のゆらぎに変換される。Q を上げる、電力を上げる、低雑音なデバイスを選ぶ——どれも「ゆらぎに対する信号の比」を改善しようとする戦いだ。

TCXO や OCXO が高い理由も、PLL の設計が難しい理由も、突き詰めればここに行き着く気がする。発振器を見るたびに、「この箱の中でどのくらい位相が揺れているんだろう」と考えるのが、少し楽しくなった。

— ランキン