0と1だけで、なめらかな音をつくる——ΔΣ変調の心臓

オーディオ用の DAC（デジタル→アナログ変換器）や ADC（その逆）の中に、出力が 0 か 1 の2値しかない ものがある、と聞くとちょっと不思議に思う。1bit、つまり「ある／なし」だけで、どうやって繊細な波形を再現するんだろう。

答えの中心にあるのが ΔΣ変調（デルタシグマ変調）と、その心臓部にある ノイズシェイピング という考え方だ。粗い量子化を、時間方向の工夫で取り返している、という話になる。

まず、誤差を貯めるタンクを置く

いちばん素朴な1次の変調器は、こう書ける。入力 $x$（ここでは $0$ から $1$ の値とする）を、毎ステップ「タンク」に足していく。タンクの中身 $a$ が $1$ を超えたら $1$ を吐き出して、その分だけタンクを減らす。超えていなければ $0$ を出す。

たったこれだけ。たとえば $x = 0.3$ を入れ続けると、タンクはゆっくり溜まって、およそ10回に3回の割合で $1$ が出る。出てくる0と1の列を平均すると、ちゃんと $0.3$ に戻る。1bit の密度（1が出る割合）に、もとの値が乗っているわけだ。

つまり「滑らかな高さ」を「1の混み具合」に翻訳している。粗さを、空間（ビット数）ではなく時間（密度）で表している、と言ってもいい。

量子化の誤差はどこへ行ったのか

1bit に丸める瞬間、必ず誤差が出る。$0.3$ を $0$ や $1$ に切り捨て・切り上げするのだから、当然だ。この 量子化誤差 $e$ がどう振る舞うかが、この方式の肝になる。

タンク（積分器）が誤差を溜め込み、出力でそれを差し引く構造なので、誤差は出力で「差分」の形になって現れる。z 領域で書くと、出力 $Y$ は入力 $X$ と誤差 $E$ を使って

となる。入力はそのまま、誤差にだけ $(1 - z^{-1})$ という係数が掛かっている。この $(1 - z^{-1})$ を ノイズ伝達関数（NTF） と呼ぶ。これが効いてくる。

周波数 $f$（サンプリング周波数を $f_s$ とする）での大きさを見ると、

これは 低い周波数でほぼ $0$、高い周波数で大きい。つまり量子化誤差は、低域から追い出されて高域へ押し上げられる。これが「ノイズシェイピング」——雑音の置き場所を、信号のいる低域から、聞こえない（あるいは後で捨てられる）高域へ整形する操作だ。

オーバーサンプリングと組み合わせる

ノイズを高域に追いやっても、信号と同じ帯域に残っていたら意味がない。そこで オーバーサンプリング——必要な何十倍も速くサンプリングして、信号の帯域を全体のごく低い隅に押し込めておく。すると「信号は低域、雑音は高域」とくっきり分かれるので、最後に素直なローパスフィルタを通すだけで、雑音の大半を捨てて高分解能の波形が残る。

次数を上げて NTF を $(1 - z^{-1})^2$ にすると、低域のへこみがもっと急になり、同じオーバーサンプリング比でもさらに雑音を追い出せる。高次の変調器は安定性とのせめぎ合いになるけれど、発想は同じだ。

なぜこれが嬉しいのか

部品の側から見ると、1bit の変換器は作りやすい。多bitの変換器は、各ビットの重み（$1, \tfrac12, \tfrac14, \dots$）を抵抗やコンデンサの比で正確に作り込む必要があって、その精度がそのまま音質の限界になる。1bit なら重みは一つしかないから、その「比の誤差」から解放される。足りない分解能は、速さ（オーバーサンプリング）と賢さ（ノイズシェイピング）で買う、という割り切りだ。

空間の精度を、時間の精度に置き換える——ΔΣ変調はその発想がとてもきれいで、一度わかると色々な所に同じ構造が見えてくると思う。

実際に誤差タンクが溢れて1を吐く様子と、誤差スペクトルが低域でへこんで高域へ寄っていく様子は、ΔΣ変調を一歩ずつ で動かして確かめられるよ。ノイズシェイピングを ON/OFF すると、低域の雑音が出たり消えたりするのが目で見える。

— ランキン