源を足して、場を作る ── 一発の返事から、場の全体へ

ここまでで、二つの素朴な手が揃った。重ね合わせ では「一発の返事さえ覚えれば、複雑な入力も、その返事を足すだけで作れる」を掴んだ。1/r² では「源ひとつが作る場は 1/r² で薄まり、それを囲むフラックスは途切れない」を見た。

今日は、この二つが出会う。源がひとつのときの“返事”は分かった ── じゃあ、源が いくつもあったら、まわりの場はどうなるんだろう？ 答えはもう、半分は手の中にある。覚えた返事を、源の数だけ足せばいい。でも、いざ足そうとすると、ひとつ小さな壁にぶつかる。そこを越えると、場というものの見え方が、ぐっと素直になるよ。

源を、もうひとつ置く

源をひとつ置くと、まわりに放射状の場ができる ── 前回 で見た、$1/r^2$ で薄まる場だ。

ここからは、重力でも電場でも 同じ形 で読めるように、ただ『源』と呼ぶことにする。ただ、絵にするなら正と負を置ける 電場のほうが分かりやすい ので、図ではそちらを借りるよ。重力なら、源（質量）はいつも正で、場はまわりの物を質量へ引き寄せる向き。電場なら、正の源からは場が湧き出し、負の源へは吸い込まれる。向きの出方は少し違うけれど、各源が作る場をベクトルとして足す という骨は、まったく同じだ。さて ── 源をもうひとつ置いたら?

各点での場は、ただ 2つの場のベクトルの足し算 になる。

$\vec{g}(P) = \vec{g}_1(P) + \vec{g}_2(P)$

点 $P$ に立って、源1が作る場と、源2が作る場を、矢印として足す ── それだけ。源どうしは互いの存在を気にせず、それぞれが自分の $1/r^2$ の返事を撒き、観測点でその矢印が合算される。これは 前々回の「独立」（同時に源があっても、片方の返事はもう片方を気にしない）が、そのまま場に効いている姿だよ。── ここでは、源の位置が固定された、静かな線形の場 として見ている。源が動いたり、媒質がそれに応じて変わったりする話は、いったん脇に置いておく。

下のラボで、順に触ってみてほしい。まず源を1つだけ 置いて、「場（坂の向き）」ビューで、矢印が四方へどう広がるかを見る。次に同じ符号を2つ 置いて、真ん中で矢印がどう足し合わさるか（押し合って外へ広がる）を見る。最後に ＋と− を置くと（双極子）、＋から湧き出した矢印が−へ吸い込まれ、横では 打ち消し合う場所と強め合う場所 ができる。式を一行も追わなくても、この3つを触れば「場は、源の返事の足し算でできている」が、目で分かると思う。

向きを足すのは、しんどい

ここで、さっき言った小さな壁が来る。場は ベクトル ── 大きさだけでなく 向き を持つ。そして、向きを持つものの足し算は、地味に面倒なんだ。

具体的にやってみよう。ある点 $P$ で、3つの源からの場が、こんなふうに来ているとする：源1から「右上 $40°$ の向きに 5」、源2から「真左に 3」、源3から「真下に 4」。この3本は、矢印のままでは足せない ── まず一本ずつ、水平成分（$x$）と垂直成分（$y$）に分解する：

• 源1：$(5\cos40°,\;5\sin40°) = (3.83,\;3.21)$
• 源2：$(-3,\;0)$
• 源3：$(0,\;-4)$

次に $x$ どうし・$y$ どうしを別々に合計して $(0.83,\;-0.79)$、最後にそれを大きさと向きに組み直す。── たった3本でも、この手間だ。

源が2つ3つならまだいい。でも源が100個、あるいは連続的に広がっていたら? 各点で、100本の矢印をいちいち $\cos/\sin$ で分解して、成分を足して、組み直す ── しかも空間の点ごとに、だ。考えただけで、うんざりするね。

そこで、もっと素直な足し算はないか、と問いたくなる。鍵は「向き」だ。

足し算が面倒なのは、場が ベクトル（向きと大きさを持つ量）だからだった。もし足したいものが、向きを持たない スカラー（ただの数）だったら、話は一気に楽になる。スカラーは、温度や標高や気圧みたいに、各点にひとつの数が貼られているだけの量だ。スカラーどうしの足し算は、$5+3=8$ という、ただの数の足し算 ── 向きを分解する必要がない。「24℃ の部屋に 18℃ の風が入る」とき、温度に北も南もないよね。それと同じだ。

じつは 前回の終わり で、その逃げ道を一度だけ口にしていた ── 「ポテンシャルで見るなら、まず足すのは向きのない $1/r$ のほうだ」。場というベクトルを直接足す代わりに、向きのないスカラーを足して、後から向きを取り出す。これを、いま使う。

ポテンシャル ── 1/r のすり鉢を、足す

向きを持った場のかわりに、各点に ひとつの数 を割り当てる。源からの距離 $r$ に対して $1/r$（重力なら符号をつけて $-Gm/r$）で決まる、向きのない量。これを ポテンシャル $\phi$ という。

$\phi(P) = \sum_i \frac{q_i}{r_i}\qquad(\text{源 } i \text{ から } P \text{ までが } r_i)$

ポテンシャルは数だから、足し算はただの 足し算 だ。向きを分解する手間がいらない。源ひとつは、まわりに $1/r$ 型の 地形 を作る ── 重力なら $-Gm/r$ の 井戸、電場なら、正の電荷は 山、負の電荷は 井戸。符号で山か井戸かは変わるけれど、$1/r$ の形を足して地形を作り、最後に坂を測る、という手順は同じだよ。源を増やすと、その地形が そのまま重なって足される ── でこぼこの地形ができていく。

そして場は、その地形の 坂 として取り出せる。正の試験粒子をそっと置くと思えば、粒子はポテンシャルが下がる向きに押される（符号を変えれば、山と井戸も、押される向きも反転する）。その向きと急さが、場そのものだ。きちんと言えば、場はポテンシャルの傾き（勾配）の逆向き、$\vec{g} = -\nabla\phi$ と書く。（$\nabla\phi$ は「地形のいちばん急な上り坂の向き」を指す記号、頭のマイナスはその逆＝下り坂のこと。記号が苦手なら、「場 ＝ 地形の坂」 とだけ持っておけば、この先も困らないよ。）「数を足してから、最後に一度だけ坂を測る」── これが、矢印を一本ずつ足すより、ずっと楽な道なんだ。

ここで、前回と今回の“数字”の関係も見えてくる。$1/r$ の地形の「坂の急さ」を測ると、ちょうど $1/r^2$ になる んだ。つまり、ポテンシャルが $1/r$、その坂である場が $1/r^2$ ── 前回の $1/r^2$（場）と今回の $1/r$（ポテンシャル）は、坂と高さの関係でつながっていた、ということ。

ラボを「ポテンシャル地形」ビューにすると、この地形が見える。同符号の源を2つ置くと、すり鉢が融合してひょうたん型の等高線になる。等高線が混んでいる所ほど坂が急 ＝ 場が強い。源を足すだけで、入り組んだ地形がいくらでも作れる のが分かると思う。

ひとつ、なぜ楽な道が許されるのかを、軽く手すりとして。場の足し算（$\vec{g}_1+\vec{g}_2$）と、ポテンシャルの足し算（$\phi_1+\phi_2$）が食い違わないのは、「坂を測る」操作（勾配）が線形だからだ。先に $\phi$ を足してから坂を測っても、先に坂を測ってから足しても、同じ場所には同じ矢印が立つ。だから安心して、楽なほう（数を足す）から進める。

▶ 地形と坂を、両方の見方で触る ↗ ▶ 3D地形を回して見る ↗

源を、たくさん ── 和が積分になる

源が、とびとびの点ではなく、空間に 塗り広げられて いたら ── 質量や電荷が、もやのように連続に分布していたら ── どうなるんだろう?

考え方は、これまでと地続きだ。源が1個なら、その返事を1つ見る。2個なら、2つの返事を足す。100個なら、100個の返事を足す。源が連続に広がっているなら、空間を 細かなかけらに刻んで、各かけらを「ちいさな点源」だと思って、全部足す。その“ものすごく細かい足し算”を、数学では 積分 と書く。それだけのことだよ。

かけらひとつを見てみよう。ある場所 $\vec{r}'$ にあるかけらの源の強さは、「その場所にどれだけ源が詰まっているか（密度 $\rho$）」×「かけらの小ささ（体積 $dV'$）」。そのかけらが、いま知りたい場所 $P$ に届ける返事は、覚えた $1/r$ をその強さ倍したもの ── ここで $r$ は、かけらから $P$ までの距離 $|\vec{P}-\vec{r}'|$ だ。あとは、かけらの分だけ全部足す。式で書くと、こうなる：

$\phi(P) = \int \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{P}-\vec{r}'|}\,dV'$

ものものしく見えるけど、言っているのは 「源のかけらを、全部足す」 の一文に尽きる。$\displaystyle\int$ は、その足し算をものすごく細かくしただけの印。分子の $\rho(\vec{r}')\,dV'$ が「かけらひとつの源の強さ」、$1/|\vec{P}-\vec{r}'|$ が「そのかけらが $P$ に届ける $1/r$ の返事」── 強さ × 返事を、空間ぜんぶで足し集めている、それだけだ（$G$ や $1/4\pi\varepsilon_0$ といった比例係数は省いて、形だけを書いているよ）。

見覚えのある手だね。これは 畳み込み でやった「短冊の返事を足す → 刻みを 0 にして積分」と、球面の薄まり でやった「$1/r$ の返事」を、ひとつに重ねたものだ。一発の返事（$1/r$）を覚えて、源の場所ごとに置いて、源の強さで重みづけて、全部足す。 今日いちばん大事な一文を選ぶなら、これになる。源の分布さえ分かれば、空間のどこの場でも、この足し算（積分）で出てしまう。

具体例で、スカラーの足し算の楽さを味わっておこう。ある点 $P$ から見て、距離 $2\,\mathrm m$ の所に $+1\,\mathrm{nC}$、距離 $1\,\mathrm m$ の所に $+2\,\mathrm{nC}$ の電荷があるとする（電位の係数は $k=1/4\pi\varepsilon_0\approx 9\times10^9$）。$P$ での電位は、各電荷の $kq/r$ を ただ足すだけだ：

$V = k\frac{q_1}{r_1} + k\frac{q_2}{r_2} = 9\times10^9\left(\frac{1\times10^{-9}}{2} + \frac{2\times10^{-9}}{1}\right) = 4.5 + 18 = 22.5\ \mathrm{V}$

向きの分解は、一切ない ── 数を2つ足しただけ。もし同じ配置で 場（力の向き） を知りたければ、最初にやった $\cos/\sin$ 分解が、矢印2本ぶん要る。スカラー（電位）の手軽さが、数字で分かると思う。

重力でも、まったく同じ形だ。質量 $m_1, m_2$ が距離 $r_1, r_2$ にあれば、重力ポテンシャルは $\phi = -G\dfrac{m_1}{r_1} - G\dfrac{m_2}{r_2}$ ── やはり、ただの足し算。源が電荷か質量か、符号が＋か−かが違うだけで、骨は一本だ。

そして面白いのは、この同じ骨が、分野を変えても顔を出すこと。重力ポテンシャル（源＝質量）も、静電ポテンシャル＝電位（源＝電荷。テスターが読む、あの電圧そのものだ）も、定常状態の温度分布（源＝熱の湧き出し。熱伝導でも同じ $1/r$ 型の式になる）も、非圧縮の流れの速度ポテンシャル（源＝湧き出し・吸い込み）も ── 衣装は違うのに、骨はこの一本だ。だから、一度この「返事を置いて足す」を手に入れると、分野をまたいで同じ道具が使える。物理の地図の、いちばん気持ちのいい所だと思うよ。

二つの扉

ここで、立ち止まりたい。いま私たちは、場を 中身から組み立てた ── 源を一つずつ数えて、その返事を足して。けれど 前回、まったく違う見方をしていたのを覚えてる? 源を囲む面を考えて、外から、貫くフラックスを数える だけで、中の源の総量が分かった。面の形にはよらず、囲んだ源で決まる、と。

つまり、同じ「場」に、二つの扉がある。

ひとつは、外から、まるごと。閉じた面を貫くフラックスを数えれば、中に何があるかの 総量 が分かる（$\oint \vec{g}\cdot d\vec{A}$ ＝ 囲んだ源で決まる）。源の一個一個を知らなくても、総量だけは、外側からの“貫き”で押さえられる。

もうひとつは、中から、部品で。源を一つずつ拾って、その返事 $1/r$ を足し上げれば、場の 細かい形 まで分かる（さっきの積分）。

この二つは、矛盾じゃなくて、同じ事実の表と裏だ。源は湧きも消えもしない（保存）── だからこそ、外から数えた総量と、中の部品を足した結果が、きっちり合う。片方は「世界をまるごと囲んで帳尻を見る」目、もう片方は「中身を一粒ずつ積む」目。この連載でずっと追ってきた 足し合わせ（中から）と 湧かない・消えない（外から）が、場というひとつの対象の上で、ようやく握手する。

どちらの扉にも、物理ではちゃんと名前がついている。でも、今日はまだ呼ばないでおく。名前より先に、二つの見方が同じ場所を指している、その手応えのほうを持っておきたいんだ。

場は、源の台帳でできている

最後に、少しだけ遠くを見たい。

ここまでの話を一言にすると ── 場とは、源たちの“返事”の重ね合わせ だ。空間のどこに、どんな場が立っているか。それは、源の台帳（どこに、どれだけの源があるか）から、原理的には完全に決まってしまう。── 少なくとも、ここで見てきたような 静かな（時間で変わらない）場 では。場は、空っぽの空間が勝手に持っている飾りじゃなくて、源が書き込んだ帳簿の、読み出しなんだ。

そして、その帳簿が信用できるのは、源が 勝手に湧いたり消えたりしない からだった。もし源が気まぐれに増減したら、外から数えた総量も、中から積んだ和も、合わなくなる。足し算は閉じず、場は“一つのもの”として書き下せない。保存という地味な約束が、ここでも足場になっている ── 数えられるから、足せる。足せるから、場が決まる。

源をひとつ置いたときの、たった一発の返事。それを覚えて、置いて、足す。これだけのことの繰り返しで、重力の場も、静かな電場も、組み上がっていく。きれいだと思う。複雑な世界の見た目の裏に、「一発の返事を足す」という、拍子抜けするほど素朴な骨が一本通っている。── その骨をもう少し先までたどると、源と場をひと息で結ぶ式に行き着くのだけれど、それはまた、名前を呼ぶ覚悟ができたときに。